Wuyanru's blog
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hdu7162

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一道分治NTT的好题。

题目链接

前置知识：分治NTT。

题意

小 Q 在玩一个 RPG 游戏，这个游戏里的武器可以升级，武器一开始是 级，最高可以到 级。

假如武器现在是 级，小Q就可以花费 个硬币升级武器；

升级武器有 的概率成功，这个时候武器的等级会变为 。

否则升级会失败，有 的概率会掉落到 级。

请你帮小Q算出升级到 级，期望需要多少硬币，对 取模。

，数据组数，。

题解

这题一看上去就很期望dp对吧，是不是很像武器升级游戏？

这题显然不能直接倒推，倒着推全是环。

考虑正推。

设 表示从 升级到 级的期望，则 表示从 级升级到 级的期望。

首先列一下方程：

大概意思就是说，你首先花费了 个硬币进行升级。

有 的概率成功了，这个时候代价就是 ，不用管。

否则会失败，枚举掉到了哪一层，然后乘上重新回来的代价即可。

这样我们就得到了一个 的 dp，显然过不了，而且这个 dp 还有环（ 需要用到 )。

所以下面我们来颓柿子： 所以呢？

和 ， 都是常数（或者在算 的时候可以被当成常数）。

后面的括号直接一个分治 NTT 带走。

代码

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#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
using namespace std;
using pi=pair<int,int>;
using ll=long long;
using pl=pair<ll,ll>;
using pli=pair<ll,int>;
template<typename A>
using vc=vector<A>;
using vi=vector<int>;
const int mod=998244353;
const int RG=332748118;
const int G=3;
inline int read()
{
    int s=0,w=1;char ch;
    while((ch=getchar())>'9'||ch<'0') if(ch=='-') w=-1;
    while(ch>='0'&&ch<='9') s=s*10+ch-'0',ch=getchar();
    return s*w;
}
int wh[600001];
ll f[600001];
ll g[600001];
ll pre[100001];
ll dp[100001];
ll prew[100001];
int w[100001];
int p[100001];
int c[100001];
int n;
ll qow(ll a,int b)
{
    ll ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) ans=ans*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
inline void NTT(ll *f,int n,bool dft=true)
{
    for(int i=0;i<n;i++) if(i<wh[i]) swap(f[i],f[wh[i]]);
    for(int len=2;len<=n;len<<=1)
    {
        ll step=qow(dft?G:RG,(mod-1)/len);int num=len>>1;
        for(int l=0,mid=num;l<n;l+=len,mid+=len)
        {
            ll s=1;
            for(int i=0;i<num;i++)
            {
                ll now=f[i+mid]*s%mod;
                f[i+mid]=(f[i+l]-now+mod)%mod;
                f[i+l]=(f[i+l]+now)%mod;
                s=s*step%mod;
            }
        }
    }
    if(!dft)
    {
        ll num=qow(n,mod-2);
        for(int i=0;i<n;i++) f[i]=f[i]*num%mod;
    }
}
inline void NTT(int n)
{
    for(int i=1;i<n;i++) wh[i]=(wh[i>>1]>>1)+(i&1?n>>1:0);
    NTT(f,n),NTT(g,n);
    for(int i=0;i<n;i++) f[i]=f[i]*g[i]%mod;
    NTT(f,n,false);
}
void fz(int l,int r)
{
    if(l==r)
    {
        if(l==0) return ;
        dp[l]=mod-dp[l]*(mod+1-p[l-1])%mod*qow(prew[l-1],mod-2)%mod;
        dp[l]=(dp[l]+c[l-1]+pre[l-1]*(mod+1-p[l-1]))%mod;
        dp[l]=dp[l]*qow(p[l-1],mod-2)%mod;
        pre[l]=(pre[l-1]+dp[l])%mod;
        return ;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    fz(l,mid);
    int len=(r-l+1)<<1,nb=1;
    for(;nb<=len;nb<<=1);
    for(int i=0;i<nb;i++) f[i]=g[i]=0;
    for(int i=l;i<=mid;i++) f[i-l]=pre[i];
    for(int i=1;i<=r-l+1;i++) g[i]=w[i];
    NTT(nb);
    for(int i=mid+1;i<=r;i++) dp[i]=(dp[i]+f[i-l-1])%mod;
    fz(mid+1,r);
}
int main()
{
    int t=read();
    while(t--)
    {
        n=read();ll num=qow(100,mod-2);
        for(int i=0;i<n;i++) p[i]=read()*num%mod,c[i]=read();
        for(int i=1;i<n;i++) w[i]=read(),prew[i]=prew[i-1]+w[i];
        fz(0,n);
        printf("%lld\n",pre[n]);
        for(int i=0;i<=n;i++) dp[i]=pre[i]=0;
    }
    return 0;
}