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[NOI2013] 向量内积

发表于 分类于 ，

很有意思的一个随机题。

题目链接。

题意

给定 个 维向量，找出两个向量，使得它们的内积是 的倍数。

，复杂度要求 。

题解

当 时：

在向量内积结果 意义下：

考虑对于一个向量 ，若其和前面每一个向量内积都为 ，那么这些内积的和一定是 。

那么将所有向量随机打乱，如果有解，那么一定有至少一半的概率 check 出来。

当 时：

注意到 。那么在向量内积结果 意义下。

那么对于一个向量 ，若其和前面每一个向量内积平方都为 ，那么这些内积平方和一定是 。

对于 求的就是 。

时间复杂度 ，其中 为随机的次数。

代码

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#include<bits/stdc++.h>
#define inf 0x3f3f3f3f3f3f3f3fll
#define debug(x) cerr<<#x<<"="<<x<<endl
using namespace std;
using ll=long long;
using ld=long double;
using pli=pair<ll,int>;
using pi=pair<int,int>;
template<typename A>
using vc=vector<A>;
inline int read()
{
    int s=0,w=1;char ch;
    while((ch=getchar())>'9'||ch<'0') if(ch=='-') w=-1;
    while(ch>='0'&&ch<='9') s=s*10+ch-'0',ch=getchar();
    return s*w;
}
inline ll lread()
{
    ll s=0,w=1;char ch;
    while((ch=getchar())>'9'||ch<'0') if(ch=='-') w=-1;
    while(ch>='0'&&ch<='9') s=s*10+ch-'0',ch=getchar();
    return s*w;
}
mt19937 _rand(time(0)^clock());
const int L=10;
int a[100005][105];
int id[100005];
int ss[105][105];
int sum[105];
int n,d,k;
inline bool check(int u,int v)
{
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=d;i++) ans+=a[u][i]*a[v][i];
    return !(ans%k);
}
inline void check(int i)
{
    int p=id[i];
    for(int j=1;j<i;j++) if(check(id[j],p))
    {
        printf("%d %d\n",min(id[j],p),max(id[j],p));
        return ;
    }
    assert(0);
}
inline bool check()
{
    if(k==2)
    {
        memset(sum,0,sizeof(sum));
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            int p=id[i],v=0;
            for(int j=1;j<=d;j++) (v+=a[p][j]*sum[j])%=2,(sum[j]+=a[p][j])%=2;
            if(v!=(i-1)%2){ check(i);return true;}
        }
        return false;
    }
    else
    {
        memset(ss,0,sizeof(ss));
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            int p=id[i],v=0;
            for(int j=1;j<=d;j++) for(int k=1;k<=d;k++)
            {
                v+=ss[j][k]*a[p][j]*a[p][k];
                ss[j][k]+=a[p][j]*a[p][k];
            }
            if(v%3!=(i-1)%3){ check(i);return true;}
        }
    }
    return false;
}
int main()
{
    n=read(),d=read(),k=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        id[i]=i;
        for(int j=1;j<=d;j++) a[i][j]=read()%k;
    }
    for(int i=1;i<=L;i++)
    {
        shuffle(id+1,id+n+1,_rand);
        if(check()) return 0;
    }
    printf("-1\n");
    return 0;
}