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[GYM104053J] Math Exam

发表于 分类于 ，

好像脑瘫了想复杂了导致一直没做出来。

题目链接。

题意

对于一个长度为 的序列 ，令 。

称这个序列是好的，当且仅当 且满足 。

给定 ，求有多少好的序列。

， 是奇数。

题解

首先这个好的条件太麻烦了，考虑化简一下。

首先对于 ，相当于是 ，解得 。

对于 的情况： 则 。

考虑 。

令 ，则 且 。

考虑哪些转移是可行的。

如果是 的转移，此时 。这要求 。

如果是 的转移，此时要求 。

这相当于在平面直角坐标系上每一次向右上或右下走一步，要求纵坐标在 范围内。

初始在坐标 ，求走 步后仍然合法的方案数。

反射容斥板子。

代码

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#include<bits/stdc++.h>
#define inf 0x3f3f3f3f3f3f3f3fll
#define debug(x) cerr<<#x<<"="<<x<<endl
using namespace std;
using ll=long long;
using ld=long double;
using pli=pair<ll,int>;
using pi=pair<int,int>;
template<typename A>
using vc=vector<A>;
inline int read()
{
    int s=0,w=1;char ch;
    while((ch=getchar())>'9'||ch<'0') if(ch=='-') w=-1;
    while(ch>='0'&&ch<='9') s=s*10+ch-'0',ch=getchar();
    return s*w;
}
inline ll lread()
{
    ll s=0,w=1;char ch;
    while((ch=getchar())>'9'||ch<'0') if(ch=='-') w=-1;
    while(ch>='0'&&ch<='9') s=s*10+ch-'0',ch=getchar();
    return s*w;
}
const int mod=998244353;
ll pre[10000005];
ll inv[10000005];
ll jc[10000005];
int n,m;
inline ll qow(ll a,ll b)
{
    ll ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) ans=ans*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
inline void init(int L)
{
    jc[0]=1;
    for(int i=1;i<=L;i++) jc[i]=jc[i-1]*i%mod;
    inv[L]=qow(jc[L],mod-2);
    for(int i=L;i;i--) inv[i-1]=inv[i]*i%mod;
}
inline ll C(int a,int b)
{
    return jc[a]*inv[b]%mod*inv[a-b]%mod;
}
inline ll get(int L,int R)
{
    if(L<0&&R>0) return get(0,R)+get(1,-L);
    if(L<0) swap(L,R),L=-L,R=-R;
    ll ans=pre[R];
    if(L) ans-=pre[L-1];
    return ans;
}
inline ll get(int w)
{
    int L=max(1-n,0-w);
    int R=min(n-1,m-w);
    if(L>R) return 0;
    return get(L,R);
}
int main()
{
    n=read(),m=(read()+1)/2;init(n-1);
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        if(i) pre[i]=pre[i-1];
        if((n-1-i)%2==0) pre[i]=(pre[i]+C(n-1,(n-1+i)>>1))%mod;
    }
    ll ans=get(1);int w1=1,w2=1;
    for(int i=0;i<=(n+m-1)/m;i++)
    {
        swap(w1,w2);
        w1=-2-w1,w2=2*(m+1)-w2;
        if(i&1) ans+=get(w1)+get(w2);
        else ans-=get(w1)+get(w2);
    }
    ans=(ans%mod+mod)%mod;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}