这道题首先需要进行题意转化。
比较考验开放思维...
题目链接。
题意
给你数字 与 要求构造一个长度为 的数列 ，满足以下条件：
询问有多少种方案数，对
取模。
题解
首先我们知道这个序列是递增的，那么我们求出它的差分序列 ，特别地，。
这个时候，我们的要求就变成了：
不难发现，如果没有第一个条件，那么方案数很好算，就是 ，可以使用插板法推出来。
这个时候我们可以想到，将每一个 使用别的方法“表示”出来。
现在，我们对
做带余除法，可以将 表达为 。
特别地，对于 ，我们令 。
那么现在，对于任意的一组 ，就有了唯一的 和 用来表示。
那么现在，条件转化为：
然后，我们枚举 ，考虑如何计算方案数。
首先 肯定是 ，不考虑。
不难发现，当 时，因为有
，而 又是 的倍数，所以 。
然后使用插板法，当
时，方案数是 。
当 时，方案数是 。
所以现在，我们只需要知道
的方案数即可，首先我们令 。
我们又知道，，所以直接可以得到方案数为 。
所以得到，最终答案为
时间复杂度 。
代码
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| #include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#define inf 0x3f3f3f3f3f3f3f3fll
const int mod=998244353;
using namespace std;
using ll=long long;
using pli=pair<ll,int>;
using pi=pair<int,int>;
template<typename A>
using vc=vector<A>;
inline int read()
{
int s=0,w=1;char ch;
while((ch=getchar())>'9'||ch<'0') if(ch=='-') w=-1;
while(ch>='0'&&ch<='9') s=s*10+ch-'0',ch=getchar();
return s*w;
}
ll qow(ll a,int b)
{
ll ans=1;
while(b)
{
if(b&1) ans=ans*a%mod;
a=a*a%mod;
b>>=1;
}
return ans;
}
ll inv[20000001];
ll jc[20000001];
int n,m;
inline void init(int n)
{
jc[0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++) jc[i]=jc[i-1]*i%mod;
inv[n]=qow(jc[n],mod-2);
for(int i=n;i;i--) inv[i-1]=inv[i]*i%mod;
}
inline ll C(int a,int b)
{
if(b<0||a<b) return 0;
return jc[a]*inv[b]%mod*inv[a-b]%mod;
}
int main()
{
n=read(),m=read();
init(20000000);
ll ans=0;
for(int i=0;i<=m;i++)
{
ll val=(C(n,i-n)+C(n-1,i-n+1))%mod;
ans=(ans+val*C((m-i)/3+n,n))%mod;
}
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
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