Wuyanru's blog
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[ABC270G] Sequence in mod P

发表于 分类于 ，

一道很有意思的题。

告诉我们有的时候要敢于颓柿子。

题目链接。

题意

现在有一个序列 ，满足这个条件：

求出一个最小的 ，使得 ，没有输出 。

一共 组询问。

且 为质数。

题解

首先我们可以化简一下 的定义，手动试一下可以发现：

显然，当 或 时这个式子可能没有意义，所以需要特判。

对于 ， 中显然只可能出现 与 两种值。

对于 ， 是一个等差数列。

两种都很好计算。

然后我们就可以得到一个方程：

最小的 就是答案。

我们会发现，这个未知数 只在 指数的位置上出现过。

考虑往BSGS这个方向靠近，下面先来推式子。

当 时，只有 才有解，特判一下即可。

否则就有 ，方程两边同时除以这个式子。

直接 BSGS 搞定。

代码

细节有点多，我挂了好久。

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#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<queue>
#include<unordered_map>
using namespace std;
using ll=long long;
using pli=pair<ll,int>;
using pi=pair<int,int>;
template<typename A>
using vc=vector<A>;
inline int read()
{
    int s=0,w=1;char ch;
    while((ch=getchar())>'9'||ch<'0') if(ch=='-') w=-1;
    while(ch>='0'&&ch<='9') s=s*10+ch-'0',ch=getchar();
    return s*w;
}
ll a,b,s,g,mod;
ll qow(ll a,int b)
{
    ll ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) ans=ans*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
inline int BSGS(ll a,ll b)
{
    // printf("%lld %lld\n",a,b);
    int sq=1;
    for(;(sq+1)*(sq+1)<=mod;sq++);
    unordered_map<ll,int>vis;
    ll num=qow(a,sq),now=1;
    for(int i=0;i*sq<=mod;i++)
    {
        if(!vis.count(now)) vis[now]=i;
        now=now*num%mod;
    }
    int ans=0x3f3f3f3f;
    now=b,num=qow(a,mod-2);
    for(int i=0;i<sq;i++)
    {
        if(vis.count(now)) ans=min(ans,vis[now]*sq+i);
        now=now*num%mod;        
    }
    if(ans==0x3f3f3f3fll) return -1;
    return ans;
}
int main()
{
    int T=read();
    while(T--)
    {
        mod=read(),a=read(),b=read(),s=read(),g=read();
        if(s==g)
        {
            printf("0\n");
            continue;
        }
        if(a==1)
        {
            if(b!=0) printf("%lld\n",(g-s+mod)*qow(b,mod-2)%mod);
            else printf("-1\n");
            continue;
        }
        if(a==0)
        {
            if(b==g) printf("1\n");
            else printf("-1\n");
            continue;
        }
        ll num=(a*s-s+b+mod)%mod;
        if(num==0)
        {
            printf("-1\n");
            continue;
        }
        printf("%d\n",BSGS(a,(a*g-g+b+mod)%mod*qow(num,mod-2)%mod));
    }
    return 0;
}
/*
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5 1 3 4 0
ans=2
*/

感谢观看！