很久以前写过的一道题。
今天突然发现题解全是生成函数，就来补一篇正常一点的。
题目链接。
题意
现在有 个盒子，第 个盒子初始有 个小球。
现在要进行
次操作，每一次随机向一个盒子放一个小球。
设最终第 个盒子里有 个小球，求 的期望。
。
。
题解
首先设 。
那么 。
考虑把这个式子暴力拆开。
那么就是对于每一个 ，选出 和 中的一个，然后乘起来，最后加和。
设 为前 个数中选出 个 ，乘积的和是多少。
那么有转移 。
这个时候
就表示所有数中选出 个 ，乘积的和是多少。
这个时候我们只需要求出，剩下
个 期望乘积是多少。
首先发现，任意 个 期望乘积都是一样的。
所以我们只需要求出 表示取
个 ，期望乘积是多少，这里不妨假设是前 个盒子。
设 表示第 个操作，有没有向第 个盒子投球。
那么 ，考虑继续拆期望。 直接计算每一项，单项是 的。
最终答案就是 。
时间复杂度 。
代码
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#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#define inf 0x3f3f3f3f3f3f3f3fll
using namespace std;
const int mod=998244353;
using ll=long long;
using pli=pair<ll,int>;
using pi=pair<int,int>;
template<typename A>
using vc=vector<A>;
inline int read()
{
int s=0,w=1;char ch;
while((ch=getchar())>'9'||ch<'0') if(ch=='-') w=-1;
while(ch>='0'&&ch<='9') s=s*10+ch-'0',ch=getchar();
return s*w;
}
ll dp[1001][1001];
int a[1001];
int n,k;
ll ans;
inline ll qow(ll a,int b)
{
ll ans=1;
while(b)
{
if(b&1) ans=ans*a%mod;
a=a*a%mod;
b>>=1;
}
return ans;
}
inline ll E(int n)
{
ll val=1;
for(int i=0;i<n;i++) val=val*(k-i)%mod;
return val*qow(qow(::n,n),mod-2)%mod;
}
int main()
{
n=read(),k=read();
for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read()%mod;
dp[0][0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
dp[i][0]=1;
for(int j=1;j<=i;j++) dp[i][j]=(dp[i-1][j]+dp[i-1][j-1]*a[i])%mod;
}
for(int i=0;i<=n;i++)
{
ans=(ans+dp[n][i]*E(n-i))%mod;
}
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
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感谢观看！