积性函数

本篇博客主要是对积性函数的推导。

后面列举一些常见的积性函数，以及狄利克雷卷积公式。

定义

对于一个数论函数（就是定义在正整数域上的函数），如果任何两个互质的正整数 都有： 那么我们称 为积性函数。

特别的，如果对于任何两个正整数 都有 ，那么称 为完全积性函数。

狄利克雷卷积

下文中，我们统一使用 来表示乘法卷积，也叫做狄利克雷卷积。

其实就是一个新运算，把它当成小学奥数题就 OK。

具体来说，如果有 ，那么就会有： 这里， 表示一个多项式的第 项（ 次项的系数），或者一个函数在 处的取值。

狄利克雷卷积的单位元为 ，即对于任何数论函数，都有 。

其中：

性质

感觉好多性质都是和狄利克雷卷积有关的。

性质 1

性质 ：对于任何一个积性函数 ，有 。

显然，对于任何一个正整数 都有 ，所以：

性质 2

性质 ：对于任何两个积性函数 ，。

这个也比较显然。 我怎么这么能氵字数

性质 3

性质 ：对于任意两个积性函数 和正整数 ，，则 为积性函数。

显然，对于任意两个互质的正整数 ：

性质 4

性质 ：对于任何一个积性函数 和正整数 ，，则 为积性函数。

显然，对于任意两个互质的正整数 ：

性质 5

性质 ：对于任何一个积性函数 和正整数 ，，则 为积性函数。

显然，对于任意两个互质的正整数 ：

性质 6

性质 ：对于任何两个积性函数 ，，则 为积性函数。

显然，对于任意两个互质的正整数 ：

性质 7

性质 ：对于任何一个积性函数 ，， 为狄利克雷卷积意义下的除法， 为积性函数。

移项，得：。

这个应该得用数学归纳法才能证。

首先当 即 时： 然后，我们假设对于所有的 都满足条件，我们来证 满足条件。

性质 8

性质 ：对于任意三个积性函数 ，。

常见积性函数

原函数， 为 时值为 ，否则为 。是完全积性函数。

表示小于等于 的数中和 互质的数字个数。

，就是莫比乌斯函数。

，值永远为 。是完全积性函数。

，就是值本身。是完全积性函数。

，约数个数。

，约数和。

常见公式

公式 1

证明：

对于任何质数 和正整数 ，都有： 所以这个公式对于所有 成立。

对于任何一个正整数 ：

公式 2

对于任何质数 和正整数 ，都有： 所以这个公式对于所有 成立。

对于任何一个正整数 ：

公式 3

这个有点显然。

公式 4

。

公式 5